关于高斯整数中丢番图三元组扩张的研究

丢番图 $m$-元组是一组 $m$ 个互异整数，使得任意两个不同元素的乘积加一为一个完全平方数。本文研究高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 中丢番图三元组 $\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$ 扩张为丢番图四元组的扩展性。类似的单参数族 $\{k-1, k+1, 4k\}$ 在 Franušić 之前的论文中被研究过，其中证明了扩张为丢番图四元组是唯一的（元素为 $16k^3-4k$）。相同形式的丢番图三元组族 $\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$ 已在有理整数中被研究。它作为解决丢番图对 $\{k-1, k+1\}$ 扩展性问题时的一个特例出现，其中无法像其他情况那样使用相同方法。正如作者（Bugeaud、Dujella 和 Mignotte）所指出的，困难出现是因为 $k+1$ 与 $16k^3-4k$ 之间的间隔不够大。我们在尝试使用丢番图逼近时遇到了同样的困难。随后我们通过对数线性形式部分解决了该问题。