关于 $a^4+b^3$ 的无平方因子值

在本文中，我们证明当按 $\max\{|a|^{1/3},|b|^{1/4}\}$ 排序时，使得 $a^4+b^3$ 为无平方因子数的整数 $a, b$ 的密度等于所猜想的局部密度之积。我们表明，对于形如 $\beta a^4 + \alpha b^3$ 的多项式（其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 为任意固定整数），同样结论成立。对于满足 $\max\{|a|^{1/3},|b|^{1/4}\}<X$ 且 $\beta a^4 + \alpha b^3$ 为无平方因子数的整数对 $(a,b)$，我们给出了带幂次节省误差项的精确计数。