多项式判别式的无平方因子值 II

我们确定了给定次数的整系数二元型具有无平方因子判别式的密度，首次证明其后密度为正。此外，我们确定了可截出数域中极大阶的整系数二元型的密度。后者特别地证明了 Poonen 针对 $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$ 所猜想的“算术 Bertini 定理”。我们的方法还使我们能够证明，存在 $\gg X^{1/2+1/(n-1)}$ 个次数为 $n$、相伴 Galois 群为 $S_n$ 且绝对判别式小于 $X$ 的数域，改进了先前已知最佳下界 $\gg X^{1/2+1/n}$。最后，我们的方法修正了 Nakagawa 关于二次数域上有界判别式的完全非分歧 $A_n$-扩张个数下界早期（已撤回）结果中的一个错误，从而使其得以恢复。