无平方整数与傅里叶估计

我们发展了一种通用方法，用于证明整数集合 $\mathscr{A}$ 中包含无限多个 $k$ 次方无平方数，而无需依赖 $\mathscr{A}$ 的均匀分布估计。具体而言，我们证明如果 $\mathscr{A}$ 的傅里叶变换满足 certain $L^{\infty}$ 和 $L^{1}$ 估计，并且在某种意义上是“递减”的，那么 $\mathscr{A}$ 包含无限多个 $k$ 次方无平方数。我们随后使用该方法证明在基数 $b\ge 1100$ 中存在无限多个立方无平方回文数，并在此过程中获得了回文数集合傅里叶变换的新的 $L^{1}$ 估计。我们还证明在任意基数 $b\ge 2$ 中存在无限多个其反转数也为无平方数的整数。此外，我们证明在基数 $b\ge 5$ 中存在无限多个缺失某一位数字的无平方整数，在基数 $b\ge 3$ 中存在无限多个立方无平方整数。