两类单生成 $S_4$ 四次数域族

考虑整系数多项式 $f_{a,b}(x)=x^4+ax+b$ 与 $g_{c,d}(x)=x^4+cx^3+d$。假设 $f_{a,b}(x)$ 与 $g_{c,d}(x)$ 不可约，$b\mid a$，且整数 $b$、$d$、$256d-27c^4$ 以及 $\dfrac{256b^3-27a^4}{\gcd(256b^3,27a^4)}$ 均无平方因子。利用 Montes 算法，我们证明 $f_{a,b}(x)$ 或 $g_{c,d}(x)$ 的一个根定义了 $\mathbb{Q}$ 的一个单生成扩张，并作为整数环的幂整基的生成元。事实上，我们对稍更一般的族也证明了单生成性。此外，我们得到了在族 $f_{b,b}(x)$ 与 $g_{1,d}(x)$ 中生成单生成 $S_4$ 域的多项式密度的下界。