虚二次域中的某些丢番图元组

设 $K$ 为虚二次域，$\mathcal{O}_K$ 为其整数环。若对一切满足 $1 \leq i < j \leq m$ 的 $i,j$ 均有 $a_ia_j -1 = x_{ij}^2$，其中 $x_{ij} \in \mathcal{O}_K$，则称集合 $\{a_1, a_2, \cdots,a_m\} \subset \mathcal{O}_K\setminus\{0\}$ 为 $\mathcal{O}_K$ 中具 $D(-1)$ 的丢番图 $m$-元组。本文证明了对 $m > 36$，$\mathcal{O}_K$ 中不存在具 $D(-1)$ 的丢番图 $m$-元组。