关于 $S$-丢番图四元组的不存在性

设 $S$ 为一素数集合。若对一切 $i\neq j$，整数 $s_{i,j}:=a_ia_j+1$ 的素因子均来自集合 $S$，即所有 $s_{i,j}$ 均为 $S$-单位，则称由互异正整数构成的 $m$-元组 $(a_1,\ldots,a_m)$ 为 $S$-丢番图的。本文中，我们证明当 $S=\{3,q\}$ 时不存在 $S$-丢番图四元组（即 $m=4$）。进一步，我们证明对所有满足 $p<q$ 且 $p\equiv 3\mod 4$ 的素数对 $(p,q)$，只要 $(p,q)$ 不是 Wieferich 素数对，就不存在 $\{p,q\}$-丢番图四元组。