加法与乘法大集概念的相互作用及其组合应用

许多自然的加法和乘法大集概念源于拉姆齐理论的结果。在本文中，我们解释了这些概念在 $\mathbb{N}$ 子集及更一般的环论结构中的关系。我们展示了乘法大集通过三种方式产生加法大集，并提供了一系列示例以证明这些结果的最优性。我们还给出了源于加法与乘法大集之间联系的多种应用。例如，我们表明对于任意 $n, k \in \mathbb{N}$，在足够大的有限域中，任何元素少于 $n$ 个的有限集都可以经过平移，使其每个元素都变为非零的 $k^{\text{th}}$ 次幂。我们还证明了一个关于沿 $\mathbb{N}$ 的乘法 syndetic 子集进行丢番图逼近的定理，以及一个表明 $\mathbb{N}$ 中某些零密度乘法子半群内具有正上 Banach 密度的子集包含任意长算术级数的定理。在此过程中，我们在一大类可均半群中开发了上 Banach 密度的新刻画，并明确了来自测度论和拓扑动力学的回归定理中的一致性。这进而导致了关于算术级数的 Szemerédi 和 van der Waerden 经典定理的强化形式。