连分数 fractal 维数理论中的密度组合论定理

Yuto Nakajima; Hiroki Takahasi

连分数 fractal 维数理论中的密度组合论定理

数论 2025-10-28 v2 动力系统

作者: Yuto Nakajima , Hiroki Takahasi

摘要

我们搭建桥梁，将密度组合论引入连分数的维数理论. 我们建立了一种fractal 传递原理，将具有正上密度的自然数子集的常见性质传递到区间 (0,1) 中部分商数集合的性质上，后者集合 $\{a_n(x)\colon n\in\mathbb N\}$ 的部分商引导自然数到自然数的单射. 设 $(*)$ 为某种属性，适用于所有具有正上密度的自然数子集. 该原理断言：对于具有正上密度的自然数子集 $S$ ，存在Hausdorff维数为 $1/2$ 的集合 $E_S$ ，使得集合 $\bigcup_{n\in\mathbb N}\bigcap_{x\in E_S}\{a_n(x)\}\cap S$ 具有与 $S$ 相同的上密度，从而继承属性 $(*)$ . $(*)$ 的实例包括任意长度的算术进数存在和任意多项式进数存在，分别称为Szemer\'edi 定理和Bergelson-Leibman 定理. 以相同精神，我们建立了适用于素数、形式为 $y^2+z^2+1$ 的素数以及Piatetski-Shapiro数列的 relativized 版本原理.

关键词

连分数 fractal 维数密度组合论 Szemerédi 定理 Hausdorff 维数

引用

@article{arxiv.2502.10902,
  title  = {Density combinatorics theorems in fractal dimension theory of continued fractions},
  author = {Yuto Nakajima and Hiroki Takahasi},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2502.10902},
  year   = {2025}
}

备注

Adv. Math. to appear, former title: Fractal counterparts of density combinatorics theorems in continued fractions

连分数 fractal 维数理论中的密度组合论定理

摘要

关键词

引用

备注

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