Laurent 级数连分式的分形转移原理

我们在 Laurent 级数域上建立了连分式展开的分形转移原理。设 $S$ 为具有增长密度指数 $\alpha \ge 1$ 的 $q$ 元有限域上所有正次数多项式的集合的一个无限子集，并设 $U \subset S$ 为一个具有正相对上密度的子集。我们证明，存在一个由连分式位数两两不同且均属于 $S$ 的点构成的集合的子集 $E_{S,U}$，使得 $$\dim_{\rm H} E_{S,U}=\frac{1}{2\alpha}.$$ 此外，$E_{S,U}$ 中点的连分式展开中出现的数字集恢复了 $U$ 在 $S$ 中的相对上密度。我们还证明，同样的构造保持了 $\mathbb N$ 中相应次数集的相对上密度。因此，关于 $\mathbb N$ 的正上密度子集的组合命题可以转移到由 Laurent 级数在具有最优 Hausdorff 维数的集合上的连分式展开所产生的次数集上。