论一类分形集

本文引入了一个新的集合类 $\Upsilon$，包含所有表示为以下形式的集合：$$\mathbb S_{(s,u)}\equiv\left\{x: x= \Delta^{s}_{{\underbrace{u...u}_{\alpha_1-1}} \alpha_1{\underbrace{u...u}_{\alpha_2 -1}}\alpha_2 ...{\underbrace{u...u}_{ \alpha_n -1}}\alpha_n...}, \alpha_n \in A_0, \alpha_n \ne u, \alpha_n \ne 0 \right\},$$ 其中 $2<s\in \mathbb N$ 和 $u\in A$ 为固定参数，$A=\{0,1,\dots,s-1\}$，且 $A_0=A \setminus \{0\}$。研究了这些集合的拓扑、度量和分形性质。研究了正规数对这些集合的归属问题。表述并证明了一个定理，用于计算其元素在自身的 s-adic 表示中对数字或数字组合的使用有限制的任意集合的 Hausdorff-Besicovitch 维数。2012 年，本文的结果由作者在摘要中展示（https://www.researchgate.net/publication/303054326, https://www.researchgate.net/publication/303053939, https://www.researchgate.net/publication/303054835）。该研究曾在乌克兰国家科学院数学研究所的分形分析研讨会上报告（2011 年 9 月 29 日和 2012 年 2 月 16 日，可见 http://www.imath.kiev.ua/events/index.php?seminarId=21&archiv=1），且针对 nega-s-adic 表示情形的此类研究由作者发表于 Trans. Dragomanov Nat. Pedagogical Univ. Ser. 1, Physics and Mathematics 15 (2013), p. 168-187（https://www.researchgate.net/publication/292970280，乌克兰文）。