$\mathbb{N}^d$ 正密度子集的分形转移原理

我们建立了与 $\mathbb{N}^d$ 子集相关联的数字受限集的多维分形转移原理，推广了 Nakajima--Takahasi, Adv. Math. (2025) 的一维框架。我们通过奇异值势 $\phi^s(\mathbf a)$ 和多元 Dirichlet 级数 $\zeta_S(\boldsymbol{\sigma}) =\sum_{\mathbf a\in S}\prod_{j=1}^d a_j^{-\sigma_j}$ 开发了通用的 Hausdorff 维数工具。令 $s_\ast:=\inf\{s>0:\sum_{\mathbf a\in S}\phi^s(\mathbf a)<\infty\}$ 且 $\Lambda_S:=\inf\{\sigma_1+\cdots+\sigma_d:\zeta_S(\boldsymbol{\sigma})<\infty\}$。我们得到 $\dim_H(\mathcal E_S)\le s_\ast$，其中 $\mathcal E_S\subset(0,1)^d$ 表示其连分数数字向量位于 $S$ 中且其坐标发散的点集（即对每个 $j$ 有 $a_n(x_j)\to\infty$），并且对于一致 $K$-平衡的 $S$ 有 $s_\ast=\tfrac12\Lambda_S$。特别地，如果 $S\subset\mathbb{N}^d$ 具有正上密度（或上 Banach 密度），则 $\dim_H(\mathcal E_S)=d/2$。在组合方面，转移原理确保了在正密度下强制出现的平移不变构型（包括多维 Szemer\'edi 模式）在诱导的分形数字集内持续存在。