整数中分形集的加性与几何横向性

通过将分形几何与动力系统的思想并列，Furstenberg 在 1960 年代末提出了一系列探索关于乘法无关基的数字展开之间关系的猜想。在本文中，我们在整数的离散背景下引入并研究围绕 Furstenberg 工作的若干概念与结果的类比。特别地，我们定义了一类新的整数分形集，它平行于 1-环面上的 $\times r$-不变集概念，并研究了当两个这样的分形集相对于乘法无关基构造时它们之间的加性与几何独立性。我们在该方向上的主要结果平行于 Furstenberg、Hochman-Shmerkin、Shmerkin、Wu 以及 Lindenstrauss-Meiri-Peres 的工作，包括：—对正整数中所有同时为 $\times r$- 与 $\times s$-不变子集的分类；—当 $r$ 与 $s$ 乘法无关时，关于 $\times r$- 与 $\times s$-不变集 $A$ 和 $B$ 的交集 $A\cap B$ 与和集 $A+B$ 维数的两个 Furstenberg 横向性猜想的整数类比；以及—对任意 $\times r$-不变集 $A$ 的迭代和集 $A+A+\cdots+A$ 维数的描述。我们通过结合分形几何与遍历理论的思想，在连续与离散机制之间架起桥梁而得到这些结果。对于横向性结果，我们严重依赖于 Shmerkin 最近获得的受限数字 Cantor 测度投影的 $L^q$-维数的定量界。最后我们概述了关于整数分形子集的若干开放问题与方向。