切片与距离：关于 Furstenberg 与 Falconer 的两个问题

我们综述了两个数十年前的问题的历史与近期进展，它们持续吸引大量关注：H. Furstenberg 在遍历论中的乘 2、乘 3 切片猜想，以及 K. Falconer 引入的几何测度论中的距离集问题。我们讨论了对 Furstenberg 切片猜想之解背后的一些思想，以及 Falconer 问题上的近期进展。尽管这两个问题表面相当不同，我们强调我们方法中一些共同主题：通过“分支数”的组合描述来分析分形，以及通过“多尺度投影”视角来看待这些问题。