Furstenberg 交集问题的一个改进

本文研究 Furstenberg 提出的关于 $\times 2, \times 3$ 不变集之间交集的问题。我们在此给出一种直接的几何计数论证以重访 Wu 与 Shmerkin 的定理。该论证可用于获得进一步改进。例如，我们证明若 $A_2,A_3\subset [0,1]$ 为闭集且分别 $\times 2, \times 3$ 不变，假设 $\dim A_2+\dim A_3<1$，则 $A_2\cap (uA_3+v)$ 是稀疏的（本文定义）且关于实参数 $u,v$（满足 $u$ 与 $u^{-1}$ 均远离 $0$ 有界）一致地具有零盒维数。