交集体积的指数衰减及其在列表可解码性与 Gilbert-Varshamov 型界中的应用

我们给出了度量空间中球具有小交集的一些自然充分条件。粗略地说，当度量空间满足 (i) 扩张性、(ii) 良好散布性，且 (iii) 球边界上的某个随机变量具有小尾概率时，这一现象发生。作为应用，我们证明了 Hamming 空间、Johnson 空间以及对称群中球的交集体积随着其中心相互远离而呈指数衰减。为验证条件 (iii)，我们证明了关于满足 Lipschitz 条件的函数的“切片上”的一些大偏差不等式。随后我们利用这些交集体积的估计来 $\bullet$ 获得随机 $q$ 元码列表可解码性的尖锐下界，证实了 Li 和 Wootters 的一个猜想；以及 $\bullet$ 将 Levenshtein 于 1971 年关于常重码的古典界改进了一个与维数成线性的因子，解决了 Jiang 和 Vardy 提出的一个问题。我们的概率观点也为获得其他 Gilbert--Varshamov 型界的改进提供了统一框架，为 $q$ 元码、置换码和球面码给出了概念上简单且无需计算的证明。另一个推论是关于码的数量的计数结果，显示了大码的丰富性。