分形几何与加法组合学边界上的一些问题

本文是对我们关于卷积熵增长结果的综述，并包含一些新的应用。我们阐述了 $\mathbb{R}$ 上的主要结果，并通过线性化论证推导出了仿射群在 $\mathbb{R}$ 上作用的类似结果。我们还开发了关于熵维数和 Hausdorff 维数的结果版本。该方法被应用于分形几何与加法组合学边界上的两个问题。首先，我们考虑 $\mathbb{R}$ 的紧相似变换族 $\Phi$ 的吸引子 $X$。我们猜想，如果 $\Phi$ 是不可数的且 $X$ 不是单点集（等价地，$\Phi$ 不包含在一个单参数半群中），则 $\dim X=1$。我们表明，这将由自相似集的经典重叠猜想得出；而在无条件情况下，我们证明了如果 $X$ 不是点且 $\dim\Phi>0$，则 $\dim X=1$。其次，我们研究了 Shmerkin 和 Keleti 提出的一个问题：如果一个非空集合 $\emptyset\neq Y\subseteq\mathbb{R}$ 在每一点都包含一个中间三分之一 Cantor 集 $K$ 的缩放副本，那么该集合可以有多小？这样的集合其维数必须至少为 $\dim K$，而我们证明了其维数至少为 $\dim K+\delta$，其中 $\delta>0$ 为某个常数。