指数分离解析迭代函数系统上自共形测度的维数

我们将 Hochman 关于实数域上指数分离自相似测度的工作推广到实解析情形。更准确地说，设 $\Phi=\left\{ \varphi_{i}\right\} _{i\in\Lambda}$ 为区间 $I:=[0,1]$ 上的迭代函数系统，由实解析收缩映射组成，设 $p=(p_{i})_{i\in\Lambda}$ 为正概率向量，设 $\mu$ 为其关联的自共形测度。假设 $\Phi$ 中的映射不存在公共固定点，$0<\left|\varphi_{i}'(x)\right|<1$ 对所有 $i\in\Lambda$ 和 $x\in I$ 成立，且 $\Phi$ 是指数分离的。在这些假设下，我们证明 $\dim\mu=\min\left\{ 1,H(p)/\chi\right\}$，其中 $H(p)$ 为熵 $p$ 且 $\chi$ 为 Lyapunov 指数。我们工作的主要新颖之处在于一种将 $\mu$ 与实分析映射空间（无限维）上的测度的卷积，化简为与有界维度多项式向量空间上的测度的卷积的参数化方法。之所以采用这种化简，是因为对于后者的卷积，我们可以建立熵增结果，这在证明中起到了关键作用。我们相信我们的证明策略有望将该领域其他重要近期结果在自然分形测度维数理论中推广到实解析情形。