$\mathbb{R}^{d}$ 中的伯努利卷积维数

对于 $(\lambda_{1},...,\lambda_{d})=\lambda\in(0,1)^{d}$ 且 $\lambda_{1}>...>>\lambda_{d}$，记 $\mu_{\lambda}$ 为与 $\lambda$ 相关的伯努利卷积，即 $\mu_{\lambda}$ 是随机向量 $\sum_{n\ge0}\pm\left(\lambda_{1}^{n},...,\lambda_{d}^{n}\right)$ 的分布，其中 $\pm$ 符号独立且等权选择。假设对每个 $1\le j\le d$，$\lambda_{j}$ 不是系数为 $\pm1,0$ 的多项式的根，则我们证明 $\mu_{\lambda}$ 的维数等于 $\min\left\{ \dim_{L}\mu_{\lambda},d\right\}$，其中 $\dim_{L}\mu_{\lambda}$ 为 Lyapunov 维数。更一般地，我们在 $\mathbb{R}^{d}$ 上具有有理平移的齐次对角仿射系统中获得此结果。该证明扩展了 Breuillard 和 Varj\'u 以及 Varj\'u 关于实数线上伯努利卷积的工作。本文的主要新颖性和贡献在于对 Varj\'u 的熵增结果的扩展，其中给出熵增加量的显式表达式。将此结果扩展到更高维的非各向同性情形需要显著的新思想。