具有重叠的自相似测度维数的估计

本文给出一种从下方估计具有重叠的自相似测度维数的算法。作为一个应用，我们证明对任意 $\beta\in(1,2)$，Bernoulli 卷积 $\mu_\beta$ 的维数满足 $$\dim (\mu_\beta) \geq 0.9804085,$$ 这改进了 Hare 和 Sidorov \cite{HareSidorov2018} 先前得到的统一下界 $0.82$。这一新的统一下界非常接近已知的关于 $\dim \mu_{\beta_3}$ 的数值近似 $0.98040931953\pm 10^{-11}$，其中 $\beta_{3} \approx 1.839286755214161$ 是多项式 $x^{3}-x^{2}-x-1$ 的最大根。此外，下确界 $\inf_{\beta\in (1,2)}\dim (\mu_\beta)$ 在某个参数 $\beta_*$ 处取得，该参数位于小区间 $$(\beta_{3} -10^{-8}, \beta_{3} + 10^{-8})$$ 内。当 $\beta$ 为 Pisot 数时，我们将 $\dim(\mu_\beta)$ 用某一矩阵压力函数的平衡测度的测度论熵表示，并给出一个从其上方估计 $\dim (\mu_\beta)$ 的算法。