伯努利卷积的维数下界

设 $\beta\in(1,2)$，令 $H_\beta$ 表示与 $\beta$ 相关的伯努利卷积 $\mu_\beta$ 的 Garsia 熵。本文证明了对所有 $\beta\in(1,2)$ 有 $H_\beta>0.82$，并对某些范围改进了该界。结合 Hochman 以及 Breuillard-Varjú 的近期结果，这推出对所有 $\beta\in(1,2)$ 有 $\dim(\mu_\beta)\ge 0.82$。此外，我们证明若一个代数数 $\beta$ 满足 $[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^k)]=k$ 对某个 $k\ge 2$ 成立，则 $\dim(\mu_\beta)=1$。例如，任何非 Pisot 数的 Pisot 数的根即属此类。