双曲面上分形测度的傅里叶衰减

设 $\mu$ 为一个 $\alpha$ 维概率测度。我们证明了关于傅里叶变换 $\widehat{\mu}$ 的双曲平均衰减速率的新上界与下界。更确切地说，若 $\mathbb{H}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的截断双曲抛物面，我们研究使得对所有 $R > 1$ 有 $$\int_{\mathbb{H}} |\hat{\mu}(R\xi)|^2 \, d \sigma (\xi)\leq C(\alpha, \mu) R^{-\beta}$$ 成立的最优 $\beta$。我们对 $\beta$ 的估计依赖于 $\mathbb{H}$ 的正与主曲率个数之最小值；若该数取最大可能值，则我们的估计在所有维数下均为尖锐的。