高阶 Fourier 维数与频率分解

本文延续了文献\cite{M1}中开始的工作，我们在其中引入了 $\mathbb{R}^d$ 上奇异测度的 Gowers 均匀性范数理论。在那里，给定一个 $d$ 维测度 $\mu$，我们引入了一个 $(k+1)d$ 维测度 $\triangle^k\mu$，并发展了一个均匀性范数 $\|\mu\|_{U^k}$，其 $2^k$ 次幂等价于 $\triangle^k\mu([0,1]^{d(k+1)}$。在本工作中，我们引入了一种与测度 $\mu$ 相关的分形维数，称之为 $\mu$ 的 $k$ 阶 Fourier 维数。这个 $k$ 阶 Fourier 维数是测度的 Fourier 变换 $\int \triangle^k\mu(x;\cdot)\,dx$ 的渐近衰减率的归一化，且在 $k=1$ 的情况下与经典的 Fourier 维数一致。它提供了对 $U^k$ 范数大小的定量控制。本文的主要结果是，这个高阶 Fourier 维数控制了 $\|\mu-\mu_n\|_{U^k}\rightarrow 0$ 的速率，其中 $\mu_n$ 是测度 $\mu$ 的近似值。这使我们能够从测度 $\mu$ 的 Fourier 变换及其频率分量的相互作用中提取细微信息，而这些信息是无法从 Fourier 变换的 $L^p$ 范数或衰减中获得的。在未来的工作\cite{M4}中，我们将应用此结果获得奇异测度的微分定理。