$\mathbb{R}^{4}$中某些奇异测度傅里叶变换的衰减估计及其应用

我们考虑一类函数 $\varphi : \mathbb{R}^{2} \setminus \{ {\bf 0} \} \to \mathbb{R}^{2}$，其满足非各向同性齐次条件，并研究由 $$\mu(E) = \int_{U} \chi_{E}(x, \varphi(x)) \, dx$$ 定义的 $\mathbb{R}^{4}$ 上Borel测度 $\mu$ 的傅里叶变换 $\hat{\mu}$，其中 $E$ 为 $\mathbb{R}^{4}$ 的Borel集，$U = \{ (t^{\alpha_1}, t^{\alpha_2}s) : c < s < d, \, 0 < t < 1 \}$。本文旨在对 $\hat{\mu}$ 给出衰减估计，情形为 $\varphi$ 的非椭圆点集合是 $\bar{U} \setminus \{ {\bf 0} \}$ 中的一条曲线。由该估计我们得到通常傅里叶变换到 $\varphi_{U} : U \to \mathbb{R}^{2}$ 图像的限制定理。我们也给出卷积算子 $T_{\mu} f = \mu \ast f$ 的 $L^{p}$ 改进性质。