平移绝对连续性与奇异测度和上的傅里叶框架

${\mathbb R}^d$ 中的有限 Borel 测度 $\mu$ 若容许 $L^2(\mu)$ 的指数框架（或傅里叶框架），则称为框架谱测度。据猜想，框架谱测度必须是平移绝对连续的，这是描述测度在其支集上局部均匀性的准则。在本文中，我们证明如果任何无原子的测度 $\nu$ 和 $\lambda$ 的支集构成 packing pair，则 $\nu\ast \lambda +\delta_t\ast\nu$ 是平移奇异的，且不承认任何傅里叶框架。特别地，我们证明了四分之一康托尔测度与十六分之一康托尔测度之和 $\mu_4+\mu_{16}$ 不承认任何傅里叶框架。我们还对 Lev 研究的混合类型框架谱测度与我们研究的测度进行了插值。在此过程中，我们展示了一种不连续行为：对于任何逆时针旋转映射 $R_{\theta}$（其中 $\theta\ne \pm\pi/2$），支撑在 $x$ 轴与 $y=(\cot \theta)x$ 并集上的二维测度 $\rho_{\theta} (\cdot): = (\mu_4\times\delta_0)(\cdot)+(\delta_0\times\mu_{16})(R_{\theta}^{-1}\cdot)$ 总是容许一个傅里叶框架。此外，我们可以找到 $\{e^{2\pi i \langle\lambda,x\rangle}\}_{\lambda\in\Lambda_{\theta}}$ 使其构成 $\rho_{\theta}$ 的傅里叶框架，且框架界与 $\theta$ 无关。尽管如此，$\rho_{\pm\pi/2}$ 不承认任何傅里叶框架。