$\mathbb{R}$ 上有限博雷尔测度的类框架傅里叶展开

已知若 $[0,1)$ 上的有限博雷尔测度 $\mu$ 拥有 $L^{2}(\mu)$ 的指数函数框架，则 $\mu$ 为纯型。本文证明了 $[0,1)$ 上存在一类非纯型的有限博雷尔测度 $\mu$，其拥有 $L^{2}(\mu)$ 的类框架傅里叶展开。我们还展示了拥有此类傅里叶展开的特定测度的性质与分类。此外，我们为 $\mathbb{R}$ 上的奇异博雷尔概率测度 $\mu$ 建立了 $L^{2}(\mu)$ 的类框架傅里叶展开。最后，我们证明了 $[0,1)$ 上拥有这些 $L^{2}(\mu)$ 类框架傅里叶展开的测度 $\mu$，其所有 $f\in L^{2}(\mu)$ 均可表示为具有类框架系数的调和函数的 $L^{2}(\mu)$ 极限。我们还讨论了这些展开的内积何时与圆盘上的模型空间及调和函数子空间一致。