Lebesgue 测度是唯一的 $\sigma$-有限不变 Borel 测度吗？
经典分析与常微分方程
2011-09-27 v1
摘要
R.D. Mauldin 曾问： 上每个平移不变的 -有限 Borel 测度是否都是 Lebesgue 测度的常数倍。本文旨在表明答案是"是又不是"，因为令人惊讶的是，答案取决于我们对 Borel 测度和常数的理解。我们给出了 Mauldin 所称的一个 folklore 结果的证明：若测度仅对 Borel 集有定义，则答案是肯定的。然后我们证明：若测度定义在一个包含 Borel 集的 -代数上，则答案是否定的。然而，若允许乘性常数为无穷大，则在此情形下答案也是肯定的。此外，我们的构造还表明： 上一个等距不变的 -有限 Borel 测度（在更广泛的意义下），当我们将其限制到 Borel 集上时，可以是非 -有限的。
引用
@article{arxiv.1109.5306,
title = {Is Lebesgue measure the only $\sigma$-finite invariant Borel measure?},
author = {Márton Elekes and Tamás Keleti},
journal= {arXiv preprint arXiv:1109.5306},
year = {2011}
}