$\times p$-不变测度的 Fourier 系数

我们考虑 $\mathbb{N}$ 的子集 $A$ 关于 $\mathbb{N}$ 的有限子集序列 $\Sigma$ 的密度 $D_\Sigma(A)$、$\overline{D}_\Sigma(A)$ 和 $\underline{D}_\Sigma(A)$，并研究单位圆 $\mathbb{T}$ 上遍历、弱混合与强混合 $\times p$-不变测度的 Fourier 系数。结合这些，我们证明了以下测度刚性结果：在 $\mathbb{T}$ 上，Lebesgue 测度是唯一的非原子 $\times p$-不变测度且满足以下条件之一：(1) $\mu$ 是遍历的，且在 $\mathbb{N}$ 中存在一个 Følner 序列 $\Sigma$ 和一个非零整数 $l$，使得对于 $\mathbb{N}$ 的子集 $A$ 中所有 $j$，$\mu$ 是 $\times (p^j+l)$-不变的，且满足 $D_\Sigma(A)=1$；(2) $\mu$ 是弱混合的，且在 $\mathbb{N}$ 中存在一个 Følner 序列 $\Sigma$ 和一个非零整数 $l$，使得对于 $\mathbb{N}$ 的子集 $A$ 中所有 $j$，$\mu$ 是 $\times (p^j+l)$-不变的，且满足 $\overline{D}_\Sigma(A)>0$；(3) $\mu$ 是强混合的，且存在一个非零整数 $l$，使得对无穷多个 $j$，$\mu$ 是 $\times (p^j+l)$-不变的。此外，满足 (2) 或 (3) 的 $\times p$-不变测度要么是 Dirac 测度，要么是 Lebesgue 测度。作为应用，我们证明，对于每个定义在正整数上且满足 $\lim_{n\to\infty}\tau(n)=\infty$ 的递增函数 $\tau$，存在一个包含 $p$ 的 $\mathbb{Z}^+$ 的乘法半群 $S_\tau$，使得 $|S_\tau\cap[1,n]|\leq (\log_p n)^{\tau(n)}$，并且 Lebesgue 测度是唯一的非原子遍历 $\times p$-不变测度，且对 $S_\tau$ 中的所有 $q$ 均为 $\times q$-不变的。