$\times a$ 与 $\times b$ 经验测度、不规则集与熵

对于整数 $a$ 和 $b\geq 2$,令 $T_a$ 与 $T_b$ 为 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上的乘 $a$ 与乘 $b$ 变换。$\mathbb{T}$ 上由 $T_a$ 和 $T_b$ 作用的系统称为 $\times a,\times b$ 作用,已知若 $a$ 与 $b$ 乘法无关,则关于 $T_a$ 或 $T_b$ 唯一具有正熵的 $\times a,\times b$ 不变且遍历的测度为 Lebesgue 测度。然而,是否存在非平凡的 $\times a,\times b$ 不变且遍历的测度尚不清楚。本文研究 $x\in\mathbb{T}$ 关于 $\times a,\times b$ 作用的经验测度,并证明使得 $x$ 的经验测度不收敛于任何测度的集合具有 Hausdorff 维数 $1$,而使得经验测度可逼近非平凡 $\times a,\times b$ 不变测度的集合具有 Hausdorff 维数零。此外,我们得到了关于 $x$ 的 $\times a,\times b$ 轨道在 Hausdorff 维数为零的集合之补集中的某些等分布结果。