乘b不变测度的几何刚性

设b为整数，μ为[0,1]上关于模1乘b变换不变且遍历的概率测度，且0<dim(μ)<1。设f为直线开子集之间的微分同胚。我们证明，若测度μ与f(μ)在f(E)上等价，则对于μ-a.e.点x∈E，f'(x)是b的有理数幂。特别地，若g是保持μ的分片解析映射，则存在一个支撑μ的开g不变集U，使得g在U上是分片线性的，且其斜率是a的有理数幂。类似地，对于上述μ，若c为另一整数，且b、c不是某个公共整数的幂，且ν关于模1乘c变换不变，则对于所有C^2类微分同胚f，f(μ)与f(ν)相互奇异。这推广了Rudolph-Johnson定理，并表明乘b与乘c的测度刚性并非阿贝尔作用结构的结果，而是其光滑共轭类的结果：若U、V是分别C^2共轭于乘b与乘c的一维环面映射，则它们没有共同的正维数遍历测度。