Dirichlet不可改进仿射形式集的Hausdorff测度

对于递减实值函数$\psi$,实数$m\times n$矩阵$A$与$\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$组成的对$(A,\mathbf{b})$若对一切充分大的$T$存在解$\mathbf{p}\in\mathbb{Z}^m$,$\mathbf{q}\in\mathbb{Z}^n$满足系统$$\|A\mathbf{q}+\mathbf{b}-\mathbf{p}\|^m < \psi(T)\quad\text{and}\quad\|\mathbf{q}\|^n < T$$,其中$\|\cdot\|$表示上确界范数,则称其为$\psi$-Dirichlet可改进的。Kleinbock与Wadleigh(2019)建立了$\psi$-Dirichlet不可改进集的Lebesgue测度的可积性判别准则。本文中,我们证明了$\psi$-Dirichlet不可改进集的Hausdorff测度的类似准则。同时,我们将该结果推广到$\mathbf{b}$固定的单度量情形。作为应用,我们计算了具有一致Diophantine指数$\widehat{w}(A,\mathbf{b})\leq w$的对$(A,\mathbf{b})$所成集合的Hausdorff维数。