Dirichlet 不可改进数集与良可逼近数集

设 $\Psi :[1,\infty )\rightarrow \mathbb{R}_{+}$ 为非减 functions，$a_{n}(x)$ 为 $x$ 的第 $n$ 个部分商，$q_{n}(x)$ 为第 $n$ 个收敛项的分母。$\Psi$-Dirichlet 不可改进 数集 \begin{equation*} G(\Psi ):=\Big\{x\in \lbrack 0,1):a_{n}(x)a_{n+1}(x)\,>\,\Psi \big(q_{n}(x) \big)\ \mathrm{for\ infinitely\ many}\ n\in \mathbb{N}\Big\}, \end{equation*} 与经典的 $1/q^{2}\Psi (q)$-可逼近数集 $\mathcal{K}(\Psi )$ 相关，满足 $\mathcal{K}(3\Psi )\subset G(\Psi )$。这两个集合在 $s\in (0,1)$ 时享有相同的 $s$ 维 Hausdorff 测度判别准则。我们通过证明 $G(\Psi )\setminus \mathcal{K}(3\Psi )$ 的 Hausdorff 维数与集合 $\mathcal{K}(\Psi )$ 和 $G(\Psi)$ 相同，证明了该集合不可数。这给出了对 Hussain-Kleinbock-Wadleigh-Wang (2018) 所提问题的肯定回答。