数的几何中的测度估计及对 Dirichlet 定理的改进

设 $\psi$ 为定义在所有足够大的正实数上的连续递减函数。我们称实 $m\timesimes n$ 矩阵 $A$ 是 $\psi$-Dirichlet 的，如果对于每一个足够大的实数 $t$，都能找到 $\boldsymbol{p} \in \mathbb{Z}^m$，$\boldsymbol{q} \in \mathbb{Z}^n\smallsetminus\{\boldsymbol{0}\}$ 满足 $\|A\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}\|^m< \psi({t})$ 且 $\|\boldsymbol{q}\|^n<{t}$。该性质由 Kleinbock 和 Wadleigh 于 2018 年引入，推广了可追溯至 Davenport 和 Schmidt (1969) 的矩阵 $A$ 可 Dirichlet 改进的性质。在本文中，我们给出了 $\psi$ 的充分条件，以确保 $\psi$-Dirichlet 矩阵集合的 Lebesgue 测度为零或满测度。我们的证明是动力学的，依赖于格空间中某些扩张迷向层（expanding horospheres）的有效等分布与双重混合。我们证明的另一个主要要素是格空间中临界点集（关于上确界范数）的某些紧邻域的渐近测度估计。我们的方法同样适用于类似的加权问题，其中相关的上确界范数被替换为某些加权拟范数。