保测系统中的欠独立与过独立

我们引入弱混合与（自由）遍历保测作用的过独立与欠独立概念，并建立补充和扩展[BoFW]与[A]中所得定理的新结果。以下是本文所得结果示例：$\cdot$（密度1的UI与OI集的存在性）设$(X,\mathcal{B},\mu,T)$为可逆概率保测弱混合系统。则对任意$d\in\mathbb{N}$，任意非常值整值多项式$p_{1},p_{2},\dots,p_{d}$满足对所有$i\neq j$有$p_{i}-p_{j}$也非常值，(i)存在$A\in\mathcal{B}$使得集合$$\{n\in\mathbb{N}\colon\mu(A\cap T^{p_{1}(n)}A\cap\dots\cap T^{p_{d}(n)}A)<\mu(A)^{d+1}\}$$密度为1。(ii)存在$A\in\mathcal{B}$使得集合$$\{n\in\mathbb{N}\colon\mu(A\cap T^{p_{1}(n)}A\cap\dots\cap T^{p_{d}(n)}A)>\mu(A)^{d+1}\}$$密度为1。$\cdot$（Ces\`aro OI集的存在性）设$(X,\mathcal{B},\mu,T)$为自由、可逆、遍历概率保测系统且$M\in\mathbb{N}$。则存在$A\in\mathcal{B}$使得对所有$N\in\mathbb{N}$有$$\frac{1}{N}\sum_{n=M}^{N+M-1}\mu(A\cap T^{n}A)>\mu(A)^{2}$$。$\cdot$（Ces\`aro UI集的不存在性）设$(X,\mathcal{B},\mu,T)$为可逆概率保测系统。对任意满足$\mu(A) \in (0,1)$的可测集$A$，存在无穷多个$N \in \mathbb{N}$使得$$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \mu ( A \cap T^{n}A) > \mu(A)^2.$$