保测系统的上边缘方程解的存在性与不存在性

设 $(X,\mathcal{B},\mu)$ 为标准概率空间。我们给出确定上边缘方程解的新基本结果：\begin{eqnarray*} f = g - g \circ T \end{eqnarray*} 其中 $f \in L^p$，且 $T$ 是 $(X, \mathcal{B}, \mu )$ 上遍历可逆保测变换。我们拓展先前结果，证明对任意在正测度集上非零的可测 $f$，具有可测解 $g$ 的保测 $T$ 之集合是第一纲的（包括 $\int_X f d\mu = 0$ 的情形）。由此事实引出一个自然问题：给定 $f$，是否总存在解对 $T$ 与 $g$？关于此问题，我们的主要结果为：(i) 给定可测 $f$，存在遍历可逆保测变换 $T$ 与可测函数 $g$ 使得对 a.e. $x\in X$ 有 $f(x) = g(x) - g(Tx)$，当且仅当 $\int_{f > 0} f d\mu = - \int_{f < 0} f d\mu$（无论有限或 $\infty$）。(ii) 给定 $p \geq 1$ 的零均值 $f \in L^p$，存在遍历可逆保测 $T$ 与 $g \in L^{p-1}$ 使得对 a.e. $x \in X$ 有 $f(x) = g(x) - g( Tx )$。(iii) 在某种意义下，前述存在性结果已是最佳可能。对 $p \geq 1$，存在零均值 $f \in L^p$ 使得对任意遍历可逆保测 $T$ 及任意满足 a.e. $f(x) = g(x) - g(Tx)$ 的可测 $g$，有 $g \notin L^q$ 对 $q > p - 1$。并且，我们证明此情形对零均值 $f \in L^p$ 是通有的。最后，表明当 $f \in L^1$ 时不能期望解 $g$ 有有限矩。特别地，给定任意满足 $\lim_{x\to \infty} \phi (x) = \infty$ 的 $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，存在零均值 $f \in L^1$ 使得对任意解 $T$ 与 $g$，转移函数 $g$ 满足：\begin{eqnarray*} \int_{X} \phi \big( | g(x) | \big) d\mu = \infty. \end{eqnarray*}