测度空间上积分拟算术平均的可交换性

设(X, ℒ, λ)和(Y, ℳ, μ)为有限测度空间，且存在A ∈ ℒ和B ∈ ℳ满足0 < λ(A) < λ(X)和0 < μ(B) < μ(Y)，并设I ⊆ R为非空区间。我们证明，若f和g为I → R⁺的连续双射，则方程 $$f^{-1}\!\left(\int_X f\!\left(g^{-1}\!\left(\int_Y g \circ h\;d\mu\right)\right)d \lambda\right)\! = g^{-1}\!\left(\int_Y g\!\left(f^{-1}\!\left(\int_X f \circ h\;d\lambda\right)\right)d \mu\right)$$ 对每个ℒ ⊗ ℳ-可测简单函数h: X × Y → I成立，当且仅当对某个c ∈ R⁺有f = c g（容易看出该方程是适定的）。一个类似但本质上不同的结果——其中f和g被替换为连续单射I → R且λ(X)=μ(Y)=1——最近在[Indag. Math. 27 (2016), 945-953]中获得。