关于概率空间上广义平均的交换性

设 $f$ 和 $g$ 为定义于非空实区间 $I$ 上的实值连续单射，并设 $(X, \mathscr{L}, \lambda)$ 与 $(Y, \mathscr{M}, \mu)$ 为概率空间，其中每个空间至少存在一个测度严格介于 $0$ 与 $1$ 之间的可测集。我们称 $(f,g)$ 为一个 $(\lambda, \mu)$-switch，如果对于每一个 $\mathscr{L} \otimes \mathscr{M}$-可测函数 $h: X \times Y \to \mathbf{R}$，只要 $h[X\times Y]$ 包含于 $I$ 的紧子集中，就有 $$f^{-1}\!\left(\int_X f\!\left(g^{-1}\!\left(\int_Y g \circ h\;d\mu\right)\right)d \lambda\right)\! = g^{-1}\!\left(\int_Y g\!\left(f^{-1}\!\left(\int_X f \circ h\;d\lambda\right)\right)d \mu\right)\!,$$ 其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 到 $f[I]$ 的共限制(corestriction)的逆，类似地定义 $g^{-1}$。我们证明了该概念是良定义的，即确立上述函数方程适定（该方程可解释为广义平均的置换，并作为不确定性决策理论中的问题提出），并证明 $(f,g)$ 是一个 $(\lambda, \mu)$-switch 当且仅当存在某 $a,b \in \mathbf R$, $a \ne 0$ 使得 $f = ag + b$。