关于 2x2 矩阵中可交换对的任意集合

设 $\textrm{Mat}_2(\mathbb{R})$ 为具有实数元素的 $2 \times 2$ 矩阵集合。对于任意 $\varepsilon > 0$ 和任意有限支撑概率测度 $\mu$ on $\textrm{Mat}_2(\mathbb{R})$，我们证明要么 $$T(\mu) = \sum_{X, Y \in {\rm supp}(\mu), XY = YX} \mu(X) \mu(Y) < \varepsilon$$，要么存在某个有限集合 ${S}$ 包含在 $\textrm{Mat}_2(\mathbb{R})$ 的二维子空间中，且 $\mu({S}) \geq \varepsilon/8$。这在乘法常数上是尖锐的。我们在下面的情况下给出定量更强的结果：$$\mu ( (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq 2} ) = \nu(a_{1,1}) \dots \nu(a_{2,2}) \ \ \text{for every} \ a_{1,1}, \dots, a_{2,2} \in \mathbb{R},$$，其中 $\nu$ 为某个有限支撑概率测度 on $\mathbb{R}$。例如，当 ${A} \subset \mathbb{R}$ 为维数为 $d$ 的广义算术级数或乘法级数且 $\nu = {1}_{{A}}/|{A}|$ 时，我们的方法表明 $|{A}|^{-3} \ll_d T(\mu) \ll_d |{A}|^{-3}$。我们的方法凸显了该问题与 incidence geometry、群中增长现象以及 Bourgain--Chang 类型和谐积估计在 $\mathbb{R}$ 上的联系。后者包括对 Schmidt 的子空间定理和对整数上弱多项式 Freiman--Ruzsa 猜想的解决。