关于支撑在超平面上的给定边际测度的存在性

设 $\{\mu_k\}_{k = 1}^N$ 为实直线上的绝对连续概率测度，使得每个测度 $\mu_k$ 支撑在线段 $[l_k, r_k]$ 上，且对所有 $k$ 而言 $\mu_k$ 的密度函数在该线段上非增。我们证明，若 $\mathbb{E}(\mu_1) + \dots + \mathbb{E}(\mu_N) = C$ 且对所有 $k$ 有 $r_k - l_k \le C - (l_1 + \dots + l_N)$，则存在具有给定边际且支撑在超平面 $\{x_1 + \dots + x_N = C\}$ 上的传输方案。该传输方案是对于排斥调和代价函数 $\sum_{i, j = 1}^N-(x_i - x_j)^2$ 的多边际 Monge-Kantorovich 问题的最优解。