通过约化论证的多边际质量传输问题最优计划的唯一性

对于一族概率空间$\{(X_k,\mathcal{B}_{X_k},\mu_k)\}_{k=1}^N$与代价函数$c: X_1\times\cdots\times X_N\to \mathbb{R}$，我们考虑Monge-Kantorovich问题\begin{align*}\tag{MK}\label{MONKANT} \inf_{\lambda\in\Pi(\mu_1,\ldots,\mu_N)}\int_{\prod_{k=1}^N X_k}c\,d\lambda. \end{align*} 然后对于每个有序子集$\mathcal{P}=\{i_1,\ldots,i_p\}\subsetneq\{1,...,N\}$（$p\geq 2$），我们基于定义在$\prod_{k=1}^p X_{i_k}$上的原代价函数$c$构造新的代价函数$c_\mathcal{P}$。这一新代价函数$c_\mathcal{P}$享有原代价$c$的诸多特性，同时具有如下性质：\eqref{MONKANT}的任一最优计划$\lambda$限制到$\prod_{k=1}^p X_{i_k}$上也是问题\begin{align*}\tag{RMK}\label{REDMONKANT} \inf_{\tau\in\Pi(\mu_{i_1},\ldots\mu_{i_p})}\int_{\prod_{k=1}^p X_{i_k}}c_{\mathcal{P}}\,d\tau. \end{align*} 的最优计划。本文的主要贡献在于表明，对于指标集$\mathcal{P}$的适当选取，可从\eqref{REDMONKANT}恢复\eqref{MONKANT}的最优计划。特别地，我们研究\eqref{MONKANT}在依赖于形如\eqref{REDMONKANT}的低边际问题解之唯一性时承认唯一解的情形。这使我们能在唯一最优计划未必由映射诱导时，证明多边际问题的诸多唯一性结果。为此，我们广泛借助 disintegration 定理与$c$-极值概念。此外，通过运用此论证，除恢复该主题诸多标准结果（包括Gangbo-Święch的开创性工作）外，还将展示若干新应用以彰显此论证的适用性。