关于边际鞅约束下的最优输运问题

最优输运的基本问题是通过改变联合分布$(X_1,X_2)$来最小化期望成本$\mathbb {E}[c(X_1,X_2)]$，其中随机变量$X_1$和$X_2$的边际分布是固定的。受数学金融学的最新应用以及与孔雀问题的联系的启发，我们在附加条件$(X_i)_{i=1,2}$是鞅（即$\mathbb {E}[X_2|X_1]=X_1$）下研究该问题。我们建立了该问题的变分原理，从而能够确定特定成本函数的最优鞅输运计划。特别地，我们识别出一个鞅耦合，它在几个方面类似于经典的单调分位数耦合。与著名的Brenier定理类似，可以观察到以下行为：如果初始分布是连续的，那么这个“单调鞅”由两个函数$T_1,T_2:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$的图支撑。