关于非传统代价的最优测度传输

我们研究两个测度之间关于非传统代价函数的最优质量传输问题，即一个可取 $+\infty$ 值的代价 $c$。我们定义了两个测度的 $c$-相容性与强-$c$-相容性的概念，并证明若测度间存在有限代价方案，则测度必为 $c$-相容；若进一步两测度强-$c$-相容，则存在集中于某个 $c$-类函数的 $c$-次梯度的优化方案。该函数即所谓该方案的势。我们在略有不同的假设下给出该定理的两种证明。第一种中我们利用 $c$-路径有界性概念，表明强 $c$-相容性蕴含与最优映射相关联的有向图的强连通性结果。图的强连通性蕴含支撑集的 $c$-循环单调性（由经典推理得出）保证其 $c$-路径有界性，进而蕴含势的存在性。我们也给出当其中一个测度为离散时的构造性证明。该方法采用我们引入并深入研究的“Hall 多面体”新概念，对其应用 Brouwer 不动点定理的一个版本来证明此种情形下势的存在性。