正则化最优传输的收敛速率：解耦次优性与熵

我们研究在有限熵边缘分布设定下，当正则化参数 $\epsilon$ 趋于零时，传输计划 $\gamma_\epsilon$ 朝向 $\gamma_0$ 的收敛，以及熵正则化最优传输代价 $(c,\gamma_\epsilon)$ 朝向 $(c,\gamma_0)$ 的收敛。我们表明，在无穷小扭曲代价和紧支撑边缘分布的假设下，距离 $W_2(\gamma_\epsilon,\gamma_0)$ 渐近大于 $C\sqrt{\epsilon}$，且次优性 $(c,\gamma_\epsilon)-(c,\gamma_0)$ 为 $\epsilon$ 阶。在二次代价情形下，紧性假设放宽为 $2+\delta$ 阶矩假设。此外，在非正则化问题具有 Lipschitz 传输映射的情形下，距离 $W_2(\gamma_\epsilon,\gamma_0)$ 以 $\sqrt{\epsilon}$ 的速率收敛到 $0$。最后，若边缘分布还具有有限 Fisher 信息，我们证明 $(c,\gamma_\epsilon)-(c,\gamma_0) \sim d\epsilon/2$，并给出 $H(\gamma_\epsilon)$ 的相应展开。这些结果通过解耦正则化问题中代价与熵的作用而得到。