关于熵代价与最优传输代价之差

考虑在 $\mathbb{R}^d$ 上以严格凸代价函数将密度 $\rho_0$ 传输到 $\rho_1$ 的 Monge-Kantorovich 问题。该问题的一个流行松弛是称为熵代价问题的单参数族。熵代价 $K_h$（$h>0$）计算速度显著更快，且已知当 $h$ 趋于零时 $h K_h$ 收敛到最优传输代价。我们关注其收敛速率。我们证明，在将一个紧支撑密度传输到另一个满足若干其他技术限制的密度时，$K_h$ 与 $1/h$ 倍最优传输代价之差具有逐点极限。该极限是 $\rho_1$ 关于 $\mathbb{R}^d$ 上度量传输映射局部敏感性的黎曼体积测度的相对熵。对于二次 Wasserstein 传输，该相对熵恰好是 $\rho_1$ 与 $\rho_0$ 的熵差的一半。在那种情形下，我们补充了 Adams 等人、Duong 等人以及 Erbar 等人使用 gamma 收敛的结果。更令人惊讶的是，我们证明了这两个熵之差（加上代价）也是 Pal 和 Wong 最近引入的 Dirichlet 传输的极限。后者可被视为 Wasserstein 传输的乘法类比，并对应于一个非局部算子。它暗示了即使在代价函数不是度量时，也存在 Jordan-Kinderlehrer-Otto 意义下的熵的底层梯度流。证明基于当 $h$ 趋于零时 Schr"odinger 桥的高斯近似。