一般熵最优传输代价的收敛速率

我们研究当噪声参数 $\varepsilon \downarrow 0$ 时，最优熵代价 $v_\varepsilon$ 到最优传输代价的收敛速率。我们证明，对于 $\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d$ 上的一大类代价函数 $c$（其最优方案未必唯一或由传输映射诱导）以及紧支撑且 $L^{\infty}$ 的边缘分布，有 $v_\varepsilon-v_0= \frac{d}{2} \varepsilon \log(1/\varepsilon)+ O(\varepsilon)$。上界通过分块逼近策略和 Alexandrov 定理的积分变体获得。在 $c$ 的无穷小扭曲条件（即 $\nabla_{xy}^2 c(x,y)$ 可逆）下，我们借助 Minty 技巧建立 $d$ 维对偶间隙的二次分离，从而得到下界。