量子 Monge-Kantorovich 问题及密度矩阵间的传输距离

我们分析了 Monge--Kantorovich 最优传输问题的量子版本。传输代价在所有双分量耦合态 $\rho^{AB}$ 的集合上最小化，使得其两个维数为 $N$ 的约化密度矩阵 $\rho^A$ 和 $\rho^B$ 均固定。我们证明，选取量子代价矩阵正比于反对称子空间上的投影算符时，最小传输代价导出 $\rho^A$ 与 $\rho^B$ 间的半距离，其下界为重标度的 Bures 距离，上界为根不保真度。在单量子比特情形，我们给出了任意两态间最优传输代价的半解析表达式，并证明其平方根满足三角不等式，且在密度矩阵集合上给出二阶 Wasserstein 距离的类似物。我们引入一种关联的量子态邻近度量，称为 SWAP-保真度，并讨论其在量子机器学习中的性质与应用。