半离散最优传输中熵映射的逼近率

熵正则化最优传输为经典问题提供了一种计算上易于处理的近似。本文研究了在半离散设置下，当正则化参数 $\varepsilon$ 趋于零时，熵正则化最优传输映射（在逼近 Brenier 映射时）的逼近率。在该设置中，输入测度是绝对连续的，而输出是有限离散的。先前的工作表明，在关于输入测度的 $L^2$-范数下，逼近率为 $O(\sqrt{\varepsilon})$。在本工作中，我们在对偶 Lipschitz 范数下建立了更快的、高达多对数因子的 $O(\varepsilon^2)$ 速率，该范数弱于 $L^2$-范数。对于所述的对偶范数，$O(\varepsilon^2)$ 速率是精确的。作为一个推论，我们推导了当正则化参数随样本量增加而趋于零时，对偶 Lipschitz 空间中 Brenier 映射的熵估计量的中心极限定理。