不连续最优传输映射的极小极大估计：半离散情形

我们考虑基于独立同分布样本估计$\mathbb R^d$中两个概率分布$P$和$Q$之间最优传输映射的问题。现有该问题的所有统计分析都要求传输映射为Lipschitz，这一强假设尤其排除了任何传输映射不连续的例子。作为开发不连续映射估计程序的第一步，我们考虑一个重要特例：数据分布$Q$为$\mathbb R^d$中有限个点支撑的离散测度。我们研究了Pooladian和Niles-Weed（2021）最初提出的基于熵最优传输的计算高效估计量，并在半离散情形下证明其以极小极大最优速率$n^{-1/2}$收敛，且与维度无关。其他标准映射估计技术在此情形下既缺乏有限样本保证，且可证受到维度灾难的影响。我们在数值实验中证实了这些结果，并给出了未被理论覆盖的其他情形的实验，表明该熵估计量是用于其他不连续传输映射估计问题的有前景的方法。