$\displaystyle{\max_{\|x\|=1} \sum_{i=1}^\infty\|T_i(x)\|^2}$ 的精确解及其在物理学、生物工程和统计学中的应用

矩阵 A 的支撑向量是 max || x ||_2 =1 {||Ax||_2^2} 的解。矩阵 A_1 , . . . , A_k 的广义支撑向量是 max || x ||_2 =1 {||A_1x||_2^2 + ||A_2x||_2^2 + ... + ||A_kx||_2^2} 的解。注意，前一个优化问题也是一个边界元问题，因为最大值在单位球面上达到。物理学、统计学和工程学中的许多问题都可以使用广义支撑向量来建模。在本文中，我们首先通过求解优化问题 max || x || =1 sum_{i=1}^\infty ||T i (x )||^2 将广义支撑向量提升到无限维情况，其中 (T i )_i 是任意维 Hilbert 空间 H 和 K 之间的有界线性算子序列。观察到前一个优化问题推广了前两者。然后给出了一个统一的 MATLAB 代码，用于计算有限数量矩阵的广义支撑向量。考虑了一些特殊情况，并提供了我们的技术适用的三个新例子：量子力学系统中纯态优化的可观测量、优化的 TMS 线圈以及使用统计多元分析的最优位置问题。这三个例子展示了我们的理论和计算模型的广泛适用性。