关于 $SL_2(R)$ 随机矩阵乘积的 Furstenberg 测度的维数

设 $\mu$ 是 $SL_{2}(\mathbb{R})$ 上的一个测度，生成一个非紧且完全不可约的子群，设 $\chi>0$ 表示其 Lyapunov 指数，并设 $\nu$ 是射影直线上作用的关联平稳 (Furstenberg) 测度。我们证明，如果 $\mu$ 支撑在有限多个具有代数元素的矩阵上，那么 $$\dim\nu=\min\{1,\frac{h_{\textrm{RW}}(\mu)}{2\chi}\}$$ 其中 $h_{\textrm{RW}}(\mu)$ 是 $\mu$ 的随机游走熵，而 $\dim$ 表示逐点维数。特别地，对于每个 $\delta>0$，存在 $SL_{2}(\mathbb{R})$ 中恒等元的一个邻域 $U$，使得如果一个测度 $\mu\in\mathcal{P}(U)$ 支撑在代数矩阵上，所有原子的质量至少为 $\delta$，并且生成一个非紧且完全不可约的群，那么其平稳测度 $\nu$ 满足 $\dim\nu=1$。